Binomická věta umožňuje upravit algebraické výrazy tohoto typu:
€€ (a \pm b)^n €€Nejprve si ukážeme známé „školní“ vzorce pro výpočet druhé mocniny součinu a rozdílu dvou členů (binomu), poté si uvedeme obecný vzorec a nakonec z tohoto obecného vzorce opět odvodíme vzorce pro druhou mocninu. Tak ověříme, že binomická věta skutečně funguje.
Ze školy si jistě všichni pamatujete vzorce pro výpočet druhé mocniny, a to zřejmě tyto:
€€ \begin{align*} (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\ (a-b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 \end{align*} €€Ale co když je mocnina vyšší, například 3? Nyní se teprve ukáže potřeba znát obecnou binomickou větu.
Obecný vzorec pro výpočet n-té mocniny dvojčlenu:
€€ \begin{align*} (a+b)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k \\ & n,k \in N \end{align*} €€Popišme si nyní jednotlivé členy na pravé straně:
Kombinační číslo se vypočte takto:
€€ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} €€Konkrétní výpočet si ukážeme na příkladu, ve kterém z obecného vzorce odvodíme vztahy pro druhou mocninu součtu a rozdílu dvou členů.
1. Zadání a nalezení potřebných hodnot pro použití v obecném vzorci:
€€ (x+y)^2 \Rightarrow a=x,b=y,n=2 €€2. Dosazení do obecného vzorce:
€€ (a+b)^2 = \sum_{k=0}^2 \binom{2}{k} a^{2-k}b^{k} €€3. Rozepsání součtu dle obecného vzorce:
€€ (a+b)^2 = \binom{2}{0} a^2b^0 + \binom{2}{1} a^1b^1 + \binom{2}{2} a^0b^2 €€4. Dopočítání kombinačních čísel:
€€ (a+b)^2 = 1 \cdot a^2b^0 + 2 \cdot a^1b^1 + 1 \cdot a^0b^2 €€5. Zapsání upravaného výsledku:
€€ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 €€Musíme si uvědomit, že nám plus v obecném vzorci nevadí – my si totiž můžeme převést rozdíl kladných čísel na součet kladného čísla a záporného čísla. Jediné, co se pak změní, bude znaménko u čísla b. Až se vám binomická věta dostane víc do krve, budete schopní počítat se záporným číslem b již ve vzorci pro součet (každý sčítanec s lichou mocninou b bude záporný).
1. Začneme stejně jako u výpočtu druhé mocniny součtu, a to nalezením hodnot:
€€ (x+y)^2 \Rightarrow a=x,b=-y,n=2 €€2. Dosazení do obecného vzorce:
€€ (a+b)^2 = \sum_{k=0}^2 \binom{2}{k} a^{2-k}b^{k} €€3. Rozepsání součtu dle obecného vzorce:
€€ (a+b)^2 = \binom{2}{0} a^2b^0 + \binom{2}{1} a^1b^1 + \binom{2}{2} a^0b^2 €€4. Dopočítání kombinačních čísel:
€€ (a+b)^2 = 1 \cdot a^2b^0 + 2 \cdot a^1b^1 + 1 \cdot a^0b^2 €€5. Zapsání upravaného výsledku:
€€ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 €€6. Dosazení původních čísel:
€€ \begin{align*} (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\ &\rightarrow \left\{ a=x,b=-y \right\} \rightarrow \\ &= x^2 + 2x(-y) + (-y)^2 \\ &= x^2 - 2xy + y^2 \end{align*} €€V binomické větě můžeme najít zajímavou a užitečnou souvislost s Pascalovým trojúhelníkem. Pascalův trojúhelník je geometrické uspořádání čísel, kde každé číslo je součtem dvou čísel nad ním (v předcházejícím řádku).
€€ \begin{align*} & 1 \\ & 1 \; 1 \\ & 1 \; 2 \; 1 \\ & 1 \; 3 \; 3 \; 1 \\ & 1 \; 4 \; 6 \; 4 \; 1 \\ & 1 \; 5 \; 10 \; 10 \; 5 \; 1 \\ \end{align*} €€Všimněte si, že např. ve třetím řádku najdeme čísla 1, 2, 1. Není to podobné kombinačním číslům ve vzorci (a + b) na druhou? Není to náhoda, tato souvislost se opravdu dá dobře použít.
Každý n-tý řádek Pascalova trojúhelníku můžeme brát jako seznam kombinačních čísel členů binomického rozkladu pro (n-1)-ní mocninu. Například pro třetí mocninu dvojčlenu vezmeme čtvrtý, pro čtvrtou pátý, pro desátou jedenáctý (…) řádek Pascalova trojúhelníku a nemusíme tedy složitě počítat kombinační čísla přes faktoriály. Hodně se to hodí např. při písemce, kdy si napíšete Pascalův trojúhelník s dostatečným počtem řádků (to jde rychle) a binomická věta se hned počítá lépe.