Domů » Matematika » Vektor

Vektor

Jednou ze základních kvantit v matematice je vektor, pojem obecnější než číslo. Slovo „vektor“ pochází z latiny a znamená „ten, který nese“. V informatice se tento pojem užívá v přeneseném smyslu jako označení pro homogenní či heterogenní kolekci dat.

Formální definice vektoru

Nechť T je těleso. Vektor dimenze n nad tělesem T je uspořádaná n-tice (x1,…,xn) prvků tělesa T. Číslo x_i se nazývá i-tá souřadnice tohoto vektoru.

Součet dvou vektorů stejné dimenze n nad stejným tělesem T je definován jako:

€€ \overline{x} + \overline{y} = (x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n) €€

Součet dvou vektorů dimenze n nad tělesem T je tedy opět vektor dimenze n nad tělesem T.

Součin vektoru dimenze n nad tělesem T s prvkem a z tělesa T je definován jako:

€€ a \cdot \overline{x} = (a \cdot x_1,\ldots,a \cdot x_n) €€

Součin vektoru dimenze n nad tělesem T a prvku a z tělesa T je tedy opět vektor dimenze n nad tělesem T.

Formální definice vektorového prostoru

Množina všech vektorů dimenze n nad tělesem T spolu s definovanými operacemi sčítání vektorů a násobení vektoru prvkem tělesa T se nazývá aritmetický vektorový prostor dimenze n nad tělesem T. Zapisuje se jako Tn. Prvky tělesa T se označují jako skaláry.

V každém vektorovém prostoru V nad tělesem T platí:

  • nulový vektor 0 je určený jednoznačně
  • opačný vektor -x je určený vektorem x jednoznačně

Dále platí následující vztahy:

€€ \begin{align*} \forall \overline{x} \in V \;&:\; -(-\overline{x}) = \overline{x} \\ \forall \overline{x} \in V, a \in T \;&:\; \overline{0} \cdot \overline{x} = \overline{0} \cdot a = \overline{0} \\ \forall \overline{x} \in V \;&:\; -\overline{x} = (-\overline{1}) \cdot \overline{x} \\ \forall \overline{x} \in V, a \in T \;&:\; a \cdot \overline{x} = 0 \rightarrow (a = \overline{0} \lor x = \overline{0}) \\ \end{align*} €€

Norma vektoru

Normou vektoru x může být každá reálná funkce na vektorovém prostoru V, která splňuje následující podmínky:

€€ \begin{align*} |\overline{x}| &\geq 0 \\ |\overline{x}| &= 0 \leftrightarrow \overline{x} = \overline{0} \\ |\overline{x}+\overline{y}| &\leq |\overline{x}| + |\overline{y}| \\ |k \cdot \overline{x}| &= |k| \cdot |\overline{x}| \end{align*} €€

Po řadě se jedná o:

  1. nezápornost
  2. nulovost pouze pro nulové vektory
  3. trojúhelníkovou nerovnost
  4. homogenitu

Vektorový prostor s normou se nazývá normovaný vektorový prostor. Pro dvourozměrné a třírozměrné vektorové prostory se norma označuje názorněji jako velikost nebo délka. Každá norma dále umožňuje zavedení tzv. metriky, což je zobecněná vzdálenost.

Eukleidovská norma

Nejčastěji se používá norma eukleidovská, která je definovaná jako odmocnina ze součtu druhých mocnin souřadnic vektoru.

€€ |\overline{x}| = \sqrt{{x_1}^2 + \ldots + {x_n}^2} €€

Speciální vektory

Nulový vektor

Nulový vektor má všechny souřadnice rovné nule. Z fyzikálního hlediska nemá směr ani orientaci.

€€ \overline{0} = (0,\ldots,0) €€
Jednotkový vektor

Jako jednotkový vektor se označuje vektor s jednotkovou normou.

€€ \overline{1} = \frac{\overline{V}}{|\overline{V}|}, |\overline{1}| = 1 €€

Zápis

Algebraický zápis
€€ \overline{x} \sim \overrightarrow{x} \sim (x_1,\ldots,x_n) €€
Geometrické vyjádření

Geometricky si lze dvourozměrný vektor představit jako orientovanou úsečku z bodu A do bodu B. Orientace vektoru je vyjádřena umístěním šipky. Vede-li šipka do bodu B, bod A se označuje jako počáteční, zatímco bod B jako koncový. Délka úsečky odpovídá délce vektoru. Vektor se dá (stejně jako úsečka) zapsat ve tvaru |AB|.

geometrický význam dvourozměrného vektoru

Operace s vektorem

Součet a rozdíl

Ke každým dvěma vektorům a a b existuje právě jeden vektor x takový, že platí:

€€ \overline{b} + \overline{x} = \overline{a} €€

Vektor x se v tomto případě nazývá rozdílem vektorů a a b.

€€ \overline{x} = \overline{a} - \overline{b} \rightarrow \overline{a} - \overline{b} = \overline{a} + (-\overline{b}) €€

Z toho vyplývá, že odečíst vektor je totéž jako přičíst vektor opačný.

Součet dvou vektorů x a y je vektor:

€€ \overline{x} + \overline{y} = (x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n) €€

Rozdíl dvou vektorů x a y je vektor:

€€ \overline{x} - \overline{y} = (x_1-y_1,\ldots,x_n-y_n) €€
Násobení vektoru skalárem

Vynásobením vektoru x skalárem a vznikne opět vektor. Je-li skalár záporný, orientace vektoru se změní.

€€ a \cdot \overline{x} = (a \cdot x_1,\ldots,a \cdot x_n) €€
Skalární součin

Skalární (vnitřní) součin je funkce, která dvojici vektorů x a y přiřazuje skalár a. Je-li výsledný skalár roven nule, oba vektory x a y jsou na sebe navzájem kolmé. V ortonormální bázi se dá skalární součin dvou vektorů x a y vypočítat takto:

€€ \overline{x} \cdot \overline{y} = x_1 \cdot y_1 + \ldots + x_n \cdot y_n €€
Vektorový součin

Vektorový (vnější) součin je definován pouze ve třírozměrném prostoru s ortonormální bází. Je to funkce, která dvojici vektorů x a y přiřazuje vektor. Algebraicky se tato funkce dá vyjádřit takto:

€€ \overline{x} \times \overline{y} = (a_2 \cdot b_3-a_3 \cdot b_2,a_3 \cdot b_1-a_1 \cdot b_3,a_1 \cdot b_2-a_2 \cdot b_1) €€

Výsledný vektor z je kolmý na oba vektory x a y a jeho norma odpovídá obsahu rovnoběžníku ohraničeného vektory x a y.

Operátor DEL

Operátor del je vektor, jehož komponenty jsou parciální derivace jednotlivých souřadnic operandu.

€€ \vec{\nabla} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \\ \end{pmatrix} €€
Operátor DIV

Operátor div je divergence vektorového pole.

€€ \mathrm{div} \vec{v} = \nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} €€
Operátor ROT

Operátor rot je rotace vektorového pole.

€€ \mathrm{rot} \vec{v} = \nabla \times \vec{v} = \begin{pmatrix} w_y - v_z \\ u_z - w_x \\ v_x - u_y \\ \end{pmatrix} €€

Reference